I. Ausgangslage (zusammengefasst)

Im Jahr 2014 schuf A.__ ein «Grillring» genanntes Gefäss für die Zubereitung von Lebensmitteln etc., welches u.a. durch die A.__ gehörende B.__ GmbH vertrieben wird. C.__ hat unter der Bezeichnung «Feuerring» diverse Gefässe für die Zubereitung von Lebensmitteln mittels Feuer konstruiert, für welche er ein Schweizer und zwei internationale Patente sowie die Schweizer Marke «Feurrring» mit Beanspruchung von Waren und Dienstleistungen der Nizza-Klassen 6, 11 und 21 besitzt. Im Verlauf eines Streits zwischen C.__ und A.__ sowie der B.__ GmbH erhob C.__ am 15. März 2019 beim Handelsgericht des Kantons Aargau Klage gegen die Letztgenannten mit der Begrüdung, diese verstiessen gegen seine Urheberrechte am Feuerring sowie gegen Lauterkeitsrecht. In diesem Zusammenhang ging es u.a. um ein Abmahnschreiben von C.__ an A.__ sowie die B.__ GmbH vom 19. Februar 2019, in welchem erstmals auch die Verletzung von Urheberrecht geltend gemacht worden war. Am 3. August 2021 hiess das Handelsgericht die Klage von C.__ teilweise gut, weshalb A.__ und die B.__ GmbH Beschwerde beim BGer erhoben. Dieses bestätigte mit Bezug auf einen...