I. Ausgangslage

Die Beschwerdeführerin (Apple Inc.) ist Inhaberin der beiden Schweizer Marken SHERLOCK'S (Nr. 517858) und SHERLOCK (Nr. 461529), die (u.a.) für Computerprogramme (Software) hinterlegt sind. Die Beschwerdegegnerin, ein Unternehmen mit Sitz in den Niederlanden, ist unter der Firma «Sherlock Systems C.V.» tätig.

Am 20. April 2017 reichte die Beschwerdegegnerin beim Institut für Geistiges Eigentum (Vorinstanz im Verfahren vor dem Bundesverwaltungsgericht) zwei Löschungsanträge wegen Nichtgebrauchs gegen die vorgenannten Marken der Beschwerdeführerin ein. Am 15. April 2019 verfügte die Vorinstanz die Löschung der beiden Marken aus dem schweizerischen Markenregister infolge Nichtgebrauchs (vollständige Gutheissung der beiden Löschungsanträge).

Gegen diese beiden Verfügungen der Vorinstanz erhob die Beschwerdeführerin am 28. Mai 2019 Beschwerden beim Bundesverwaltungsgericht. Sie beantragte die Aufhebung der Verfügungen, da die Stellung der Löschungsanträge rechtsmissbräuchlich erfolgt sei: Die Beschwerdegegnerin und zahlreiche ihrer Schwestergesellschaften würden von der Person «A» kontrolliert, deren einziges Ziel es sei, international gegen die Marken der Beschwerdeführerin vorzugehen. «A» habe indessen nicht vor, die angegriffenen Marken selbst zu benutzen.

Die beiden Beschwerdeverfahren gegen die Löschung der Marken wurden vom Bundesverwaltungsgericht mit Verfügung vom 31. Mai 2019 vereint.

Die Beschwerdegegnerin beantragte mit Beschwerdeantwort vom 12. September 2019 die vollumfängliche Abweisung der Beschwerden. Sie argumentiert, das (administrative) Löschungsverfahren diene einer einfachen und kostengünstigen Befreiung des Markenregisters von ungenutzten Marken. Ein Interessensnachweis des Antragstellers sei dabei nicht notwendig. Der Nichtgebrauch der beiden Marken sei glaubhaft gemacht worden, womit diese zu löschen seien. Das Argument des Rechtsmissbrauchs sei durch die Beschwerdeführerin erst nachträglich...