I. Ausgangslage

Die A.___ GmbH (nachfolgend auch Klägerin) vertreibt als Hauptprodukt einen Ingwer-Likör «Ingwerer», für welchen sie auch die CH-Marke Nr. 660'012 «INGWERER» eintragen liess. Ihre Geschäftstätigkeit begann 2013 auf persönlicher Basis und wurde schliesslich ab September 2015 in der Form der Klägerin fortgeführt; weiter gründeten die Initianten des Geschäfts auch eine GmbH in Deutschland für den deutschen Markt. Ab 2014 erschienen in diversen Publikationen, u.a. in Tageszeitungen, Artikel über das Produkt «Ingwerer», in welchen dessen Attraktivität geschildert wurde, und im April 2018 sowie 2019 präsentierte die Klägerin zu Meistertiteln des Fussballclubs «YB» einen «Ingwerer» mit der Etikettierung «Meisterer» bzw. «Meistererer».
Am 5. März 2019 wurde die C.___ GmbH gegründet, welche am 30. Mai 2019 im Rahmen einer Eröffnungsparty ihren Likör «Summerer» präsentierte, der ebenfalls Ingwer enthält.
Am 24. Juli 2019 klagte die A.___ GmbH beim Handelsgericht des Kantons Bern gegen die C.___ GmbH (heute C.___ GmbH in Liquidation / nachfolgend auch Beklagte) im Wesentlichen mit dem Begehren, ihr sei die Bezeichnung «Summerer» für das Anbieten eines...