I. Ausgangslage (Prozess-Sachverhalt)

Dem Urteil des Handelsgerichts des Kantons Bern vom 24. Februar 2020 lag folgender Sachver­halt zugrunde:

Auf Klägerseite trat die in Bern domizilierte Peppe GmbH auf, welche 2015 aus der Kollektivge­sellschaft Peppe - Jenzer & Borchardt (Gesellschafter: Philipp «Peppe» Jenzer und Simon Borchardt) in eine GmbH umgewandelt wurde. Die Gesellschaft bezweckt die Herstellung, den Vertrieb sowie den Handel mit Getränken. Ihr Hauptprodukt ist ein Ingwer-Likör unter der Be­zeichnung «Ingwerer». Die erste offizielle Flasche mit diesem Produktenamen wurde gemäss ge­richtlicher Parteibefragung im November 2013 verkauft. In diesem Zusammenhang ist die Klä­gerin auch Inhaberin der 2014 hinterlegten Schweizer Marke Nr. 660012 – Ingwerer, die je­doch im Prozess als Anspruchsgrundlage keine Rolle spielte. Nach anfänglicher Vermarktung der Spirituose v.a. in den Schweizer Regionen Bern, Zürich, Basel und St. Gallen und einer späteren Produktionslizenz an Partner in Österreich (2014) konnte der Verkauf des «Ingwerer» ab 2015 quartalsweise immer weiter gesteigert werden. 2016 wurde eine GmbH in Deutschland gegrün­det, um den dortigen Markt zu bedienen. Des Weiteren wurde das klägerische Portfolio 2017 durch einen Gin-Ingwer-Likör namens «Gingwerer» erweitert. Dazu waren in den Jahren 2018 und 2019 anlässlich der Meistertitel des lokalen Fussballclubs YB jeweils Sondereditionen der Getränke mit der Etikette «Meisterer» resp. beim zweiten Mal «Meistererer» erhältlich. Auch bei Marketingaktivitäten im Jahr 2019 wie z.B. dem Newsletter «newsletterer» oder einem Sommer­anlass «Sommerer» für Mitarbeitende, Freelancer und Bekannte blieb sich die Klägerin hinsicht­lich der Namensgebung treu (Zusatz -er bzw. -erer am jeweiligen Wortende).

Auf der Beklagtenseite befand sich die ebenfalls im Kanton Bern ansässige, 2019 gegründete und zwischenzeitlich infolge Konkurses liquidierte MaFuMa GmbH, welche ebenfalls den Ge­...